fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – בדיקת התכנסות – תרגיל 1510

תרגיל 

האם האינטגרל:

\int_1^{\infty} \frac{1+3\sin^4(2x)}{\sqrt{x}} dx

מתכנס או מתבדר?

תשובה סופית


האינטגרל מתבדר

פתרון

נשים לב שהפונקציה:

f(x)=\frac{1+3\sin^4(2x)}{\sqrt{x}}

חיובית, ולכן ננסה את מבחן ההשוואה לפונקציות חיוביות. נשים לב שמתקיים:

0\leq \sin^4(2x)\leq 1

0\leq 3\sin^4(2x)

1\leq 1+3\sin^4(2x)

נכפול את שני האגפים בביטוי חיובי ונקבל:

 

\frac{1}{\sqrt{x}} < \frac{1+3\sin^4(2x)}{\sqrt{x}}

נחשב את האינטגרל באגף השמאלי:

\int_1^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=

זה אינטגרל לא אמיתי, ולכן נעבור לגבול:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} \int_1^{t}\frac{1}{\sqrt{x}}=

נפתור את האינטגרל:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} \int_1^t x^{-\frac{1}{2}}=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]_1^t=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} [2\sqrt{x}]_1^t=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} 2\sqrt{t}-2\sqrt{1}=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} 2(\sqrt{t}-1)=

כעת, נחשב את הגבול. נציב 

t = \infty

ונקבל

=2(\sqrt{\infty}-1)= \infty

קיבלנו שהאינטגרל על הפונקציה החיובית הקטנה יותר מתבדר, לכן ממבחן ההשוואה נובע שהאינטגרל על הפונקציה הגדולה יותר – הפונקציה שלנו – מתבדר גם כן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה