fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – בדיקת התכנסות – תרגיל 1520

תרגיל 

האם האינטגרל:

\int_3^{\infty} \frac{1}{x+e^x} dx

מתכנס או מתבדר?

תשובה סופית


האינטגרל מתכנס

פתרון

נשים לב שהפונקציה:

f(x)=\frac{1}{x+e^x}

חיובית, ולכן ננסה את מבחן ההשוואה לפונקציות חיוביות. נשים לב שעבור

x \geq 3

מתקיים:

\frac{1}{x+e^x}<\frac{1}{e^x}=e^{-x}

נחשב את האינטגרל באגף הימני:

\int_3^{\infty} e^{-x} =

זה אינטגרל לא אמיתי, ולכן נעבור לגבול:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} \int_3^t e^{-x}=

נפתור את האינטגרל:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} [\frac{e^{-x}}{-1}]_3^t=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} [-e^{-x}]_3^t=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} -e^{-t}- (-e^{-3})=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} -e^{-t}+e^{-3}=

כעת, נחשב את הגבול. נציב 

t = \infty

ונקבל

=-e^{-\infty}+e^{-3}=

=-0+e^{-3}=e^{-3}

קיבלנו שהאינטגרל על הפונקציה החיובית הגדולה יותר מתכנס, לכן ממבחן ההשוואה נובע שהאינטגרל על הפונקציה הקטנה יותר – הפונקציה שלנו – מתכנס גם כן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה