fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – בדיקת התכנסות – תרגיל 1523

תרגיל 

האם האינטגרל:

\int_1^{\infty} \frac{x^2+3x+1}{5x^4+x^2+4} dx

מתכנס או מתבדר?

תשובה סופית


האינטגרל מתכנס

פתרון

נשים לב שהפונקציה:

f(x)=\frac{x^2+3x+1}{5x^4+x^2+4}

חיובית, ולכן ננסה את מבחן ההשוואה לפונקציות חיוביות. עבור

x \geq 1

מתקיים:

\frac{x^2+3x+1}{5x^4+x^2+4} <

<\frac{x^2+3x^2+x^2}{5x^4+x^2+4}<

<\frac{5x^2}{5x^4+x^2+4} <

<\frac{5x^2}{5x^4} =\frac{1}{x^2}

לסיכום, קיבלנו:

\frac{x^2+3x+1}{5x^4+x^2+4} < \frac{1}{x^2}

נחשב את האינטגרל באגף הימני:

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} =

זה אינטגרל לא אמיתי, ולכן נעבור לגבול:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{1}{x^2}=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} \int_1^t x^{-2}=

נפתור את האינטגרל:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-1}}{-1}]_1^t=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{x}]_1^t=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_ {t \rightarrow \infty} -\frac{1}{t}- (-\frac{1}{1})=

=\lim_ {t \rightarrow \infty} -\frac{1}{t}+1=

כעת, נחשב את הגבול. נציב 

t = \infty

ונקבל

=-\frac{1}{\infty}+1=

=-0+1=1

קיבלנו שהאינטגרל על הפונקציה החיובית הגדולה יותר מתכנס, לכן ממבחן ההשוואה נובע שהאינטגרל על הפונקציה הקטנה יותר – הפונקציה שלנו – מתכנס גם כן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה