fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – מכפלה של cos ופונקציה מעריכית – תרגיל 1919

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int e^x \cos x dx

תשובה סופית


\int e^x \cos x dx=\frac{1}{2}(e^x\sin x+e^x cos x)+c

פתרון

יש באינטגרל מכפלה של שתי פונקציות ממשפחות שונות: פונקציה מעריכית ופונקציה טריגונומטרית. לכן, נשתמש בנוסחת אינטגרציה בחלקים

כדי להשתמש בנוסחה, נגדיר:

f'(x)=\cos x, g(x)=e^x

ונקבל:

f(x)=\sin x, g'(x)=e^x

נציב לפי הנוסחה ונקבל:

\int e^x \cos x dx=

=e^x\sin x -\int e^x \sin x dx=

קיבלנו עוד אינטגרל לחישוב. גם בו יש מכפלה של שתי פונקציות ממשפחות שונות, ולכן גם כאן נשתמש בנוסחת אינטגרציה בחלקים

כדי להשתמש בנוסחה, נגדיר:

f'(x)=\sin x, g(x)=e^x

ונקבל:

f(x)=-\cos x, g'(x)=e^x

נציב במקום האינטגרל ונקבל:

=e^x\sin x -(-e^x\cos x-\int e^x \cdot (-\cos x) dx)=

=e^x\sin x + e^x\cos x-\int e^x \cos x dx

קיבלנו שוב את האינטגרל המקורי. למעשה, קיבלנו את השוויון:

\int e^x \cos x dx=e^x\sin x + e^x\cos x-\int e^x \cos x dx

נעביר את האינטגרל אגף ונקבל:

2\int e^x \cos x dx=e^x\sin x + e^x\cos x

נחלק ב-2 ונקבל:

\int e^x \cos x dx=\frac{1}{2}(e^x\sin x + e^x\cos x)

וזו התשובה הסופית.

מצאתם טעות? רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה