fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פולינום לא פריק במכנה – תרגיל 1965

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{2x-5}{x^2-6x+18} dx

תשובה סופית


\int \frac{2x-5}{x^2-6x+18} dx =\ln (x^2-6x+18)+\frac{1}{3}\arctan (\frac{1}{3}x-1)+c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים). ראשית, ננסה לפרק את המכנה לגורמים אי-פריקים. נשתמש בנוסחת השורשים ונחשב:

\Delta={(-6)}^2-4\cdot 1\cdot 18 < 0

קיבלנו שלפולינום במכנה את שורשים ממשיים, כלומר הוא אינו פריק.

לכן, ננסה לפשט את הפונקציה באינטגרל, כדי לקבל ביטויים המתאימים לאחת משיטות האינטגרציה. בתרגיל שלנו נבטא את 5- במונה כסכום, ונקבל:

\int \frac{2x-5}{x^2-6x+18} dx=\int \frac{2x-6+1}{x^2-6x+18} dx=

נשתמש בכללי האינטגרציה ונפצל את האינטגרל לסכום של שני אינטגרלים:

=\int \frac{2x-6}{x^2-6x+18} dx+\int \frac{1}{x^2-6x+18} dx

נחשב את האינטגרל הראשון בסכום:

=\int \frac{2x-6}{x^2-6x+18} dx=

נשים לב שהפונקציה במונה היא הנגזרת של הפונקציה במכנה (בגלל זה בחרנו את הסכום לביטוי 5- לעיל :)) זה מצב קלאסי לשיטת ההצבה. נגדיר:

t=x^2-6x+18

ואז

dt=(2x-6)dx

נציב באינטגרל ונקבל:

=\int \frac{1}{t} dt

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

 =\ln |t| +c =

נחזור למשתנה x:

=\ln |x^2-6x+18|+c

הפולינום תמיד חיובי, ולכן אפשר להסיר את הערך המוחלט:

=\ln (x^2-6x+18)+c

פתרנו את האינטגרל הראשון. נפתור את האינטגרל השני בסכום:

\int \frac{1}{x^2-6x+18} dx

נעשה השלמה לריבוע לפולינום במכנה ונקבל:

=\int \frac{1}{{(x-3)}^2+9} dx=

נסדר את הביטוי במכנה שיתאים לנוסחת אינטגרציה מיידית:

=\int \frac{1}{9(\frac{{(x-3)}^2}{9}+1)} dx=

=\frac{1}{9}\int \frac{1}{\frac{{(x-3)}^2}{9}+1} dx=

=\frac{1}{9}\int \frac{1}{({\frac{x-3}{3})}^2+1} dx=

=\frac{1}{9}\int \frac{1}{({\frac{1}{3}x-1)}^2+1} dx=

כעת, אפשר להשתמש בנוסחת אינטגרציה ונקבל:

=\frac{1}{9}\frac{\arctan (\frac{1}{3}x-1)}{\frac{1}{3}}+c=

=\frac{1}{3}\arctan (\frac{1}{3}x-1)+c

שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.

מכאן, התשובה הסופית תהיה הסכום של הפתרונות של שני האינטגרלים:

\int \frac{2x-5}{x^2-6x+18} dx =\ln (x^2-6x+18)+\frac{1}{3}\arctan (\frac{1}{3}x-1)+c

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה