fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – מנה עם שורש ריבועי ושורש שלישי – תרגיל 1982

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} dx

תשובה סופית


\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} dx =2x^2-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln|\sqrt[6]{x}+1|+c

פתרון

אנו רואים שתי פונקציות שורש, אז ננסה למצוא הצבה שתתאים לשתיהן, וגם תעלים את השורש. לכן, נגדיר:

x=t^6

ואז

dx=6t^5dt

כעת, נציב את המשתנה החדש באינטגרל שלנו. אם

x=t^6

אז

\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}={(t^6)}^\frac{1}{2}=t^3

וכן,

\sqrt{x}=x^\frac{1}{3}={(t^6)}^\frac{1}{3}=t^2

נציב ונקבל:

\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} dx=\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=

נוציא את הקבוע ונצמצם:

=6\int \frac{t^3}{t+1}dt=

קיבלנו אינטגרל של פונקציה רציונלית. נפתח את הביטוי, כדי לקבל אינטגרל מיידי:

=6\int \frac{t^3-1+1}{t+1}dt=

=6\int \frac{t^3+1}{t+1}dt-6\int \frac{1}{t+1}dt

נפתור את האינטגרל הראשון:

6\int \frac{t^3+1}{t+1}dt=

נפתח  את המונה לפני נוסחאות כפל מקוצר:

=6\int \frac{(t+1)(t^2-t+1)}{t+1}dt=

נצמצם:

=6\int t^2-t+1 dt=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרציה:

=6(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t) +c

נפתור את האינטגרל השני:

-6\int \frac{1}{t+1}dt=

זה אינטגרל מיידי עם פונקציה פנימית לינארית, לכן נוכל להשתמש בנוסחת אינטגרציה ובכלל השלישי בכללי האינטגרציה:

=-6\ln|t+1|+c

נחבר את התוצאות של שני האינטגרלים:

6\int \frac{t^3-1+1}{t+1}dt=

=6(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t)-6\ln|t+1|+c=

=2t^3-3t^2+6t-6\ln|t+1|+c=

נחזור למשתנה המקורי:

=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln|\sqrt[6]{x}+1|+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה