fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – מנה עם cos ו- sin – תרגיל 2250

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{\cos^7 x}{\sqrt{\sin x}} dx

תשובה סופית


\int \frac{\cos^7 x}{\sqrt{\sin x}} dx =2\sqrt{\sin x}(1-\frac{3}{5}\sin^2 x+\frac{1}{3}\sin^4 x-\frac{1}{13}\sin^6 x)+c

פתרון

באינטגרל יש פונקציית sin בתוך שורש, ואילו פונקציית cos בחזקה. לכן, נוציא cos אחד מהחזקה, כדי שיהיה הנגזרת של sin בהצבה הטריגונומטרית שלנו. לשם כך, נסדר את האינטגרל להצבה שלנו:

\int \frac{\cos^7 x}{\sqrt{\sin x}} dx=

=\int \frac{\cos^6 x}{\sqrt{\sin x}}\cos x dx=

=\int \frac{{(1-\sin^2 x)}^3}{\sqrt{\sin x}}\cos x dx

הצלחנו לקבל פונקצייה המורכבת מפונקציית sin יחד עם הנגזרת שלה (cos) במכפלה עם dx. כעת, אנו מוכנים להצבה:

u=\sin x

du=\cos x dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

\int \frac{{(1-\sin^2 x)}^3}{\sqrt{\sin x}}\cos x dx=

=\int \frac{{(1-u^2)}^3}{\sqrt{u}}du=

נפתח את הסוגריים במונה לפני נוסחאות כפל מקוצר:

=\int \frac{1-3u^2+3u^4-u^6}{u^{\frac{1}{2}}}du=

=\int (u^{-\frac{1}{2}}-3u^{\frac{3}{2}}+3u^{\frac{7}{2}}-u^{\frac{11}{2}})du=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת האינטגרציה המתאימה ונקבל:

=2u^{\frac{1}{2}}-3\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}+3\cdot \frac{2}{9}u^{\frac{9}{2}}-\frac{2}{13}u^{\frac{13}{2}}+c=

נסדר ונקבל:

=2u^{\frac{1}{2}}(1-\frac{3}{5}u^2+\frac{1}{3}u^4-\frac{1}{13}u^6)+c=

נחזור למשתנה המקורי:

=2\sqrt{\sin x}(1-\frac{3}{5}\sin^2 x+\frac{1}{3}\sin^4 x-\frac{1}{13}\sin^6 x)+c

נושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה