fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פונקציית sin במכנה – תרגיל 1995

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{1}{\sin x} dx

תשובה סופית


\int \frac{1}{\sin x} dx =\frac{1}{2}(\ln|\cos x -1|-\ln|\cos x +1|)+c

פתרון

יש באינטגרל פונקציית sin, אז ננסה להוסיף גם את פונקציית cos, ומכיוון שאחת היא הנגזרת השנייה, נשתמש בשיטת ההצבה.

\int \frac{1}{\sin x} dx=

נכפול מונה ומכנה ב-sin ונקבל:

=\int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx

נשתמש בזהות טריגונומטרית:

\sin^2 x+\cos^2 x=1

נציב את הזהות באינטגרל ונקבל:

=\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 }dx

כעת, יש לנו שתי פונקציות, ופונקציה אחת היא הנגזרת של השנייה, לכן נוכל להשתמש בשיטת ההצבה. נגדיר את ההצבה הטריגונומטרית:

t=\cos x

ואז:

dt=-\sin x

נציב באינטגרל ונקבל:

=-\int \frac{1}{1-t^2}dt=

נסדר:

=\int\frac{1}{t^2-1}dt=

נפרק את המנה שקיבלנו לשברים חלקיים ונקבל:

=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})dt=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=\frac{1}{2}(\ln|t-1|-\ln|t+1|)+c

לבסוף, נחזור למשתנה המקורי:

=\frac{1}{2}(\ln|\cos x-1|-\ln|\cos x+1|)+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה