fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפט לגרנז’ – הוכחת אי-שוויון – תרגיל 2164

תרגיל 

הוכיחו שמתקיים:

\frac{b-a}{b}<\ln (\frac{b}{a})<\frac{b-a}{a}

הוכחה

נשים לב שיש באי-שוויון פונקציית ln וביטויים שדומים לנגזרת של הפונקציה בנקודות a,b. לכן, ננסה את משפט לגרנז’, כי יש בנוסחה שלו פונקציה עם הנגזרת שלה. לשם כך, נגדיר:

f(x)=\ln x

הפונקציה רציפה וגזירה לכל x חיובי. לכן, ממשפט לגרנז’ נובע שקיימת נקודה c בקטע:

 0<a<c<b

המקיימת:

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

נציב את את הפונקציה שלנו:

f'(c)=\frac{\ln b-\ln a}{b-a}

נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

f'(c)=\frac{\ln (\frac {b}{a})}{b-a}

כעת, נגזור את הפונקציה שלנו ונקבל:

f'(x)=\frac{1}{x}

נשים לב שפונקציה זו היא פונקציה מונוטונית יורדת ממש לכל x חיובי, כלומר עבור

 a<c<b

מתקיים:

f'(a)>f'(c)>f'(b)

נציב את הנוסחה שלנו ונקבל:

f'(a)>\frac{\ln (\frac {b}{a})}{b-a}>f'(b)

נציב את הנגזרת:

\frac{1}{a}>\frac{\ln (\frac {b}{a})}{b-a}>\frac{1}{b}

לבסוף, נעביר אגפים:

\frac{b-a}{a}>\ln (\frac {b}{a})>\frac{b-a}{b}

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה