fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפט לגרנז’ – הוכחת אי-שוויון – תרגיל 2162

תרגיל 

הוכיחו שמתקיים:

|\sin x - \sin y|\leq |x-y|

הוכחה

נשים לב שאם מעבירים אגף, מקבלים ביטוי הדומה מאוד לנוסחה במשפט לגרנז’. לכן, נגדיר פונקציה:

f(x)=\sin x

הפונקציה רציפה וגזירה לכל x. לכן, ממשפט לגרנז’ נובע שקיימת נקודה c בקטע:

 x<c<y

המקיימת:

f'(c)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}

נציב את את הפונקציה שלנו ואת הנגזרת:

\cos c\cdot (x-y)=\sin x - \sin y

נשים ערך מוחלט בשני האגפים:

|\cos c\cdot (x-y)|=|\sin x - \sin y|

לפי חוקי ערך מוחלט:

|\cos c|\cdot |x-y|=|\sin x - \sin y|

פונקציית cos חסומה ומתקיים:

|\cos (x)|\leq 1

לכל x. נציב ונקבל:

|\sin x-\sin y|=|\cos c|\cdot |x-y|\leq|x-y|

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה