fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (זווית מקסימלית) – תרגיל 2201

תרגיל 

מסך באורך 20 מטרים ממוקם 10 מטרים מעל הרצפה. מאיזה מרחק כדאי לשבת כדי לצפות במסך מזווית מקסימלית?

תשובה סופית


x=10\sqrt{3}

פתרון

נסמן:

זווית אלפא = הזווית בין הרצפה לבין תחתית המסך.

זווית ת’טה = הזווית בין תחתית המסך לקצהו העליון.

x = המרחק מהמסך.

להלן שרטוט:

בעיות מינימום ומקסימום - זווית מקסימלית

נבנה פונקצייה של הזווית המבוקשת (ת’טה). מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים:

\tan \alpha=\frac{10}{x} \Rightarrow \alpha=\arctan (\frac{10}{x})

באופן דומה מקבלים:

\tan (\theta+\alpha)=\frac{30}{x} \Rightarrow \theta+\alpha=\arctan (\frac{30}{x})

נבודד את ת’טה:

\theta=\arctan (\frac{30}{x})-\alpha

נציב את אלפא מהמשוואה הראשונה:

\theta=\arctan (\frac{30}{x})-\arctan (\frac{10}{x})

רוצים למצוא זווית מקסימלית וזה שקול למציאת מקסימום בפונקציית הזווית. לכן, נגזור ונשווה לאפס:

\theta '=\frac{1}{1+{(\frac{30}{x})}^2}\cdot \frac{-30}{x^2}-\frac{1}{1+{(\frac{10}{x})}^2}\cdot \frac{-10}{x^2}=0

\frac{-30}{x^2+{(30)}^2}+\frac{10}{x^2+{(10)}^2}=0

נמצא את ה-x שמקיים את המשוואה:

\frac{30}{x^2+{(30)}^2}=\frac{10}{x^2+{(10)}^2}

30x^2+3000=10x^2+9000

20x^2=6000

x=\pm 10\sqrt{3}

x מבטא מרחק, ולכן בהכרח חיובי:

x=10\sqrt{3}

אם רוצים למצוא את הזווית, מציבים בפונקצייה ומקבלים:

\theta=\arctan (\frac{30}{10\sqrt{3}})-\arctan (\frac{10}{10\sqrt{3}})=

=\arctan (\frac{3}{\sqrt{3}})-\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})=

=\frac{\pi}{3}-{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}

\theta=30\degree

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה