fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום מקסימום (שטח מקסימלי) – תרגיל 2188

תרגיל 

רוצים לבנות חלון בצורת מלבן ומעליו חצי עיגול ברדיוס r. היקף החלון 12 מטרים, באיזה רדיוס צריך לבנות את החלון, כדי לקבל כמות אור מירבית?

להלן שרטוט:

בעיות מינימום מקסימום - שטח מקסימלי

תשובה סופית


r=\frac{12}{4+\pi}

פתרון

כמות אור מירבית תתקבל בשטח מקסימלי של החלון. לכן, נבנה פונקציה שתחשב את שטח החלון. r מסמן את רדיוס המעגל, ולכן רוחב המלבן הוא 2r. נסמן ב-h את אורך המלבן. שטח החלון הוא סכום שטחיהם של המלבן ושל חצי העיגול, לכן פונקציית השטח היא

y=2hr+\frac{1}{2}\pi r^2

נחשב את היקף החלון. מצד אחד, נתון שהיקף החלון הוא 12 מטרים. מצד שני, הוא שווה להיקף חצי מעגל ושלושת רבעי המלבן:

2h+2r+\frac{2\pi r}{2}=12

נבודד את h במשוואה:

2h+2r+\pi r=12

2h=12-2r-\pi r

h=6-r-\frac{\pi r}{2}

נציב בפונקציית השטח:

y=2(6-r-\frac{\pi r}{2})r+\frac{1}{2}\pi r^2=

=12r-2r^2-\pi r^2+\frac{1}{2}\pi r^2=

=12r-2r^2-\frac{1}{2}\pi r^2

רוצים למצוא שטח מקסימלי וזה שקול למציאת מקסימום בפונקציית השטח. לכן, נגזור ונשווה לאפס:

y'=12-4r-\frac{1}{2}\cdot 2\pi r=0

12-4r-\pi r=0

12-(4+\pi)r=0

12=(4+\pi)r

r=\frac{12}{4+\pi}

קיבלנו שיש נקודת קיצון בנקודה

r=\frac{12}{4+\pi}

וזה הרדיוס שייתן שטח מקסימלי. אם רוצים למצוא את השטח, פשוט מציבים בפונקציית השטח.

אם רוצים לוודא שזו נקודת מקסימום (ולא מינימום), גוזרים פעם נוספת ומציבים את הנקודה שמצאנו:

y''=-4-\pi<0

הנגזרת השנייה קטנה מאפס לכל נקודה, בפרט בנקודה שלנו, ולכן זו נקודת מקסימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה