fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (שטח מקסימלי) – תרגיל 2182

תרגיל 

נתון חוט באורך 30 מטרים. מצאו את אורכי צלעות משולש שווה השוקיים בעל השטח הגדול ביותר, שניתן להרכיב מחוט זה.

תשובה סופית


10

פתרון

נבנה פונקציה שתחשב את שטח המשולש. נסמן ב-x את אורך כל אחת מהשוקיים של המשולש ונסמן ב-y את אורך הבסיס של המשולש. היקף המשולש הוא 30, לכן מקבלים את המשוואה:

2x+y=30

נבודד את y:

y=30-2x

נחשב את גובה המשולש בעזרת משפט פיתגורס:

h^2=x^2-{(\frac{y}{2})}^2

נציב את y ונבודד את h:

h^2=x^2-{(\frac{30-2x}{2})}^2

h=\sqrt{x^2-{(\frac{30-2x}{2})}^2}=

=\sqrt{x^2-{(15-x)}^2}=

=\sqrt{x^2-(225-30x+x^2)}=

=\sqrt{x^2-225+30x-x^2}=

=\sqrt{30x-225}

לסיכום, קיבלנו:

h=\sqrt{30x-225}

כעת, אפשר לבנות את פונקציית השטח:

s(x)=\frac{h\cdot y}{2}=

נציב את h ואת y:

s(x)=\frac{\sqrt{30x-225}\cdot (30-2x)}{2}=

s(x)=\sqrt{30x-225}\cdot (15-x)=

נשים לב שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא

30x-225\geq 0

30x\geq 225

x\geq 7.5

בנוסף, אנו מוגבלים להיקף של 30. לכן, מתקיים:

2x\leq 30

x\leq 15

לסיכום, קיבלנו שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא

x\in[7.5,15]

רוצים למצוא שטח מקסימלי וזה שקול למציאת מקסימום בפונקציית השטח. לכן, נגזור ונשווה לאפס:

s'(x)=\frac{1}{2\sqrt{30x-225}}\cdot 30\cdot (15-x)+\sqrt{30x-225}\cdot (-1)=0

שימו לב שבגזירה נעזרנו בכלל המכפלה ובכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה. נסדר את המשוואה שקיבלנו:

s'(x)=\frac{30}{2\sqrt{30x-225}}\cdot (15-x)-\sqrt{30x-225}=0

\frac{450-45x}{\sqrt{30x-225}}=0

שבר שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס:

450-45x=0

45x=450

x=10

מכיוון שתחום ההגדרה הוא קטע סגור, אז גם קצות הקטע הם נקודות חשודות לקיצון מוחלט. לכן, נציב את הנקודה שמצאנו (היא נקודת קיצון מקומי) ואת קצות הקטע בפונקציה ונראה מי נותנת את הערך המקסימלי:

s(10)=43.3

s(7.5)=0

s(15)=0

ערך מקסימלי מתקבל כאשר x=10, ולכן זה אורך השוק שנותן שטח מקסימלי.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה