fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים – תרגיל 2647

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n^2+1}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{1}{3n^2+1}

נבדוק את התנאים של מבחן האינטגרל. ראשית, נראה שהסדרה מונוטונית יורדת (לא עולה):

a_{n+1}=\frac{1}{3{(n+1)}^2+1}

מכיוון ש-n מספר טבעי (שלם וחיובי), אז מקבלים שעבור 

n\geq 1

מתקיים:

3n^2+1<3{(n+1)}^2+1

ולכן,

\frac{1}{3n^2+1}>\frac{1}{3{(n+1)}^2+1}

כלומר, לכל n מתקיים:

a_n>a_{n+1}

וזה אומר שהסדרה מונוטונת יורדת.

שנית, רואים שלכל n האיבר הכללי חיובי. שני התנאים מתקיימים, ולכן אפשר להשתמש במבחן האינטגרל. לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=a_n

כלומר, הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{3x^2+1}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x^2+1}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי.  הפונקציה במכנה אינה לינארית, אלא פולינום ריבועי. לכן, ננסה להגיע לביטוי שיתאים לנוסחת האינטגרל המיידי של arctan. לשם כך, נסדר את הביטוי במכנה, ומכיוון שיש גבול אינטגרציה אינסופי, נוסיף גבול לאינסוף. נקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{{(\sqrt{3} x)}^2+1}dx=

כדי לפתור את האינטגרל, נשתמש בשיטת ההצבה. נגדיר משתנה חדש:

u=\sqrt{3}x

ונקבל:

du=\sqrt{3}dx

נעביר אגפים ונקבל:

dx=\frac{1}{\sqrt{3}}du

נציב את המשתנה החדש באינטגרל. לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה בהתאם 🙂 ונקבל:

=\frac{1}{\sqrt{3}}\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{\sqrt{3}}^{t}\frac{1}{u^2+1}du=

כעת, אפשר להשתמש בנוסחת אינטגרל מיידי ונקבל:

=\frac{1}{\sqrt{3}}\lim_{t\rightarrow \infty}[\arctan u]_{\sqrt{3}}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\frac{1}{\sqrt{3}}\lim_{t\rightarrow \infty}(\arctan t-\arctan \sqrt{3})=

נציב את הגבול ונקבל:

=\frac{1}{\sqrt{3}}(\arctan \infty -\arctan \sqrt{3})=

=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{6})<\infty

קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה