fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם cos – תרגיל 268

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos ( 2 x ) - 1} {\cos x - 1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos ( 2 x ) - 1} {\cos x - 1} = 4

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ההצבה נותנת:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos ( 2 \cdot 0 ) - 1} {\cos 0 - 1} = \frac {0} {0}

זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos ( 2 x ) = 2 \cos^2 x - 1

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos ( 2 x ) - 1} { \cos x - 1 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {2 \cos^2 x - 1 - 1} {\cos x - 1}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {2 \cos^2 x - 2} {\cos x - 1} = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {2 ( \cos^2 x - 1 )} {\cos x - 1}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {2 ( \cos x - 1 ) ( \cos x + 1 )} {\cos x - 1}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } 2 ( \cos x + 1 )

נציב שוב:

x = 0

כעת ההצבה נותנת: 

= \lim _ { x \rightarrow 0 } 2 ( \cos 0 + 1 ) = 2 \cdot 2 = 4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה