fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם cos – תרגיל 295

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 - \cos x } {x^2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 - \cos x } {x^2} = \frac {1} {2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ההצבה נותנת:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 - \cos 0 } {0^2} = \frac {0} {0}

זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בנוסחת כפל מקוצר:

a^2 - b^2 = ( a - b ) ( a + b )

בשיטה כפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המונה:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 - \cos x } {x^2} =

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 - \cos x } {x^2} \cdot \frac {1 + \cos x}{ 1 + \cos x}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 - \cos^2 x } {x^2 ( 1 + \cos x)}

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

ונקבל:

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin^2 x } {x^2} \cdot\frac {1}{ 1 + \cos x}

כעת, נשתמש בגבול ידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x} {x} = 1

ונקבל:

= \lim _ { x \rightarrow 0 } 1^2 \cdot \frac {1}{ 1 + \cos x}

נציב שוב:

x = 0

כעת ההצבה נותנת: 

= \lim _ { x \rightarrow 0 } 1^2 \cdot \frac {1}{ 1 + \cos 0} = \frac {1}{2}

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה