fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם sin, cos ו-tan – תרגיל 314

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 x + \sin ( 3 x )} {\tan ( 4 x ) - 7 x \cos ( 2 x )}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 x + \sin ( 3 x )} {\tan ( 4 x ) - 7 x \cos ( 2 x )} = -\frac {8}{3}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ההצבה נותנת:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 \cdot 0 + \sin ( 3 \cdot 0 )} {\tan ( 4 \cdot 0 ) - 7 \cdot 0 \cos ( 2 \cdot 0 )} = \frac {0} {0}

זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בזהות:

\tan x = \frac {\sin x}{\cos x}

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 x + \sin ( 3 x )} {\frac {\sin ( 4 x )}{\cos ( 4 x} - 7 x \cos ( 2 x )}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 x + \sin ( 3 x )} {\frac {\sin ( 4 x )}{\cos ( 4 x} - 7 x \cos ( 2 x )} \cdot \frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x}}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 + \frac {\sin ( 3 x )} {x} } {\frac {\sin ( 4 x )}{x} \cdot \frac {1}{\cos ( 4 x )} - 7 \cos ( 2 x )}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 + \frac {3 \sin ( 3 x )} {3 x} } {\frac {4 \sin ( 4 x )}{4 x} \cdot \frac {1}{\cos ( 4 x )} - 7 \cos ( 2 x )}

נשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { x } = 1

ונקבל:

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 5 + 3\cdot1 } { 4 \cdot 1 \cdot \frac {1} { \cos ( 4 x ) } - 7 \cos ( 2 x ) }

נציב שוב:

x = 0

כעת ההצבה נותנת: 

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {5 + 3\cdot 1 } {4 \cdot 1\cdot \frac {1}{\cos ( 4 \cdot 0 ) } - 7 \cos ( 2 \cdot 0 ) } =

= -\frac {8}{3}

קיבלנו תוצאה מוגדרת מתמטית, ולכן זו התשובה הסופית.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה