fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם sin – תרגיל 329

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( 3 x ) - \sin ( 2 x )} {x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( 3 x ) - \sin ( 2 x )} {x} = 1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ההצבה נותנת:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( 3 x ) - \sin ( 2 x )} {x} = \frac {0}{0}

זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בזהות:

\sin a - \sin b = 2 \cos ( \frac { a + b }{2} ) \sin ( \frac { a - b }{2})

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( 3 x ) - \sin ( 2 x )} {x} =

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {2 \cos \frac {5 x}{2} \sin \frac {x}{2}} {x}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } 2 \cos \frac {5 x} {2} \cdot \frac {\frac {1}{2} \sin \frac {x}{2}}{\frac {x}{2}}

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \cos \frac {5 x} {2} \cdot \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin \frac {x}{2}}{\frac {x}{2}}

נשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { x } = 1

ונקבל:

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \cos \frac {5 x} {2} \cdot 1

נציב שוב:

x = 0

כעת ההצבה נותנת: 

= \lim _ { x \rightarrow 0 } \cos \frac {5 \cdot 0} {2}\cdot 1 = 1

קיבלנו תוצאה מוגדרת מתמטית, ולכן זו התשובה הסופית.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה