fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם cos – תרגיל 338

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\cos^2 ( 2 x )} { 3 - 2 x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\cos^2 ( 2 x )} { 3 - 2 x} = 0

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ההצבה נותנת מינוס אינסוף במכנה וביטוי לא מוגדר במונה, משום שאין גבול לפונקציית קוסינוס באינסוף.

לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בשיטה שנקראת כלל הסנדביץ. נתחיל מביטוי בפונקציה שיש לו חסם עליון וחסם תחתון. בתרגיל שלנו מתקיים:

0 \leq \cos^2 ( 2 x ) \leq 1

כעת נכפול את כל האגפים בביטוי שמופיע במכנה בפונקציה. שימו לב שהמכנה שלילי כאשר x שואף למינוס אינסוף, ולכן סימני האי-שוויון יתהפכו.

\frac {0} {3 - 2 x } \geq \frac {\cos^2 ( 2 x )} {3 - 2 x} \geq \frac {1} {3 - 2 x}

נשים לב שמתקיים:

\frac {0} {3 - 2 x } = 0

\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {1} {3 - 2 x} = 0

לכן, לפי כלל הסנדביץ מקבלים שגם הביטוי האמצעי, שהוא הפונקציה שלנו, שואף לאפס, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\cos^2 ( 2 x )} {3 - 2 x} = 0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה