תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \frac{1}{2} } \frac {8 x^2 - 2 x - 1} {4 x^2 - 8 x + 3}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x = \frac{1}{2}
ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow \frac{1}{2} } \frac {8 { ( \frac{1}{2} ) }^2 - 2 (\frac{1}{2}) - 1} {4 {(\frac{1}{2})}^2 - 8 (\frac{1}{2}) + 3} = \frac {0}{0}
קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, נפרק את הפולינומים לגורמים, וכך נצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה.
נפרק את הפולינום במונה:
8 x^2 - 2 x - 1=0
ראשית, נמצא את השורשים שלו בעזרת נוסחת השורשים:
x _ {1,2} = \frac {- ( - 2) \pm \sqrt{( - 2 )^2 - 4 \cdot 8 \cdot ( - 1)}}{2 \cdot 8}
x _ {1,2} = \frac {1}{2} , -\frac{1}{4}
ולכן הפירוק שלו הוא:
8 x^2 - 2 x - 1= 8 ( x -\frac {1}{2}) (x +\frac{1}{4})
את הגורם הראשון:
( x -\frac {1}{2})
נשאיר כמו שהוא, כי הוא הגורם שבהצבה נותן לנו אפס, ואנו רוצים לצאת ממצב זה. לכן, נכפול ב-8 את הגורם השני ונקבל:
8 x^2 - 2 x - 1= ( x -\frac {1}{2}) (8 x +2)
נעשה אותו דבר לפולינום במכנה. נפרק אותו לגורמים כך:
4 x^2 - 8 x + 3=0
ראשית, נמצא את השורשים שלו בעזרת נוסחת השורשים:
x _ {1,2} = \frac {- ( - 8) \pm \sqrt{( - 8 )^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2\cdot 4}
x _ {1,2} = \frac {1}{2} , \frac{3}{2}
ולכן הפירוק שלו הוא:
8 x^2 - 2 x - 1= 4 ( x -\frac {1}{2}) (x -\frac{3}{2})
את הגורם הראשון:
( x -\frac {1}{2})
נשאיר כמו שהוא, כי הוא הגורם שבהצבה נותן לנו אפס, ואנו רוצים לצאת ממצב זה. לכן, נכפול ב-4 את הגורם השני ונקבל:
8 x^2 - 2 x - 1= ( x -\frac {1}{2}) (4 x - 6)
לאחר פירוק הפולינומים מקבלים את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \frac{1}{2} } \frac {8 x^2 - 2 x - 1} {4 x^2 - 8 x + 3} =
= \lim _ { x \rightarrow \frac{1}{2} } \frac {( x -\frac {1}{2}) (8 x +2)} { ( x -\frac {1}{2}) (4 x - 6)}
כעת, קל לראות למה קיבלנו 0\0 בהצבה, ואיך לצאת ממצב זה – פשוט לצמצם את הגורם הבעייתי:
\lim _ { x \rightarrow \frac{1}{2} } \frac {8 x +2} { 4 x - 6}
נציב שוב בפונקציה:
x = \frac{1}{2}
והפעם נקבל:
\lim _ { x \rightarrow \frac{1}{2} } \frac {8 \cdot \frac{1}{2} +2} { 4 \cdot \frac{1}{2} - 6} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}
קיבלנו תשובה מוגדרת מתמטית, ולכן זו התשובה הסופית.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
