fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים ממעלה שלישית בשאיפה למספר סופי – תרגיל 359

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^3 - 2 x^2 - x + 2} {x^3 - 7 x + 6}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^3 - 2 x^2 - x + 2} {x^3 - 7 x + 6} = \frac {1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

\frac {1^3 - 2 1^2 - 1 + 2} {1^3 - 7 1 + 6} = \frac {0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, ננסה לפרק את הפולינומים לגורמים, וכך לצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה. 

הסבר: שימו לב שמכיוון שההצבה נתנה אפס, בהכרח המספר שהצבנו הוא שורש של הפולינום, ולכן הגורם:

(x - 1)

בהכרח יופיע בפירוק של הפולינום לגורמים. לכן, נעשה חילוק פולינומים – נחלק את הפולינום בגורם לעיל. החילוק יסתיים ללא שארית, והתוצאה של החילוק תהיה פולינום ממעלה שנייה.

בתרגיל שלנו נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^3 - 2 x^2 - x + 2} {x^3 - 7 x + 6} =

= \lim _ { x \rightarrow 1} \frac {( x - 1 ) (x^2 - x - 2)} {( x - 1 ) (x^2 + x - 6)}

= \lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^2 - x - 2} {x^2 + x - 6}

נציב שוב:

x = 1

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {^2 - 1 - 2} {1^2 + 1 - 6} = \frac {-2}{-4} = \frac {1}{2}

קיבלנו תוצאה מוגדרת מתמטית, ולכן זו התשובה הסופית.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה