fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – גבול חד-צדדי עם ערך מוחלט – תרגיל 366

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {x^2 - 9}} {| 3 - x |}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {x^2 - 9}} {| 3 - x |} = \infty

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 3^+

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {3^2 - 9}} {| 3 - 3 |} = \frac {0}{0}

זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {x^2 - 9}} {| 3 - x |} =

= \lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {(x - 3 )( x + 3)}} {| 3 - x |}

מכיוון שאנו מחשבים גבול חד צדדי מימין (שימו לב שהגבול החד צדדי משמאל אינו קיים, משום שמקבלים ביטוי שלילי בשורש), אנו שואפים לשלוש, אך גדולים משלוש. לכן, הביטוי בתוך הערך המוחלט שלילי:

3 - x < 0

ומשום כך, נוסיף מינוס לפני הביטוי כשנסיר את הערך המוחלט, ונקבל:

= \lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {(x - 3 )( x + 3)}} {- (3 - x ) }

= \lim _ { x \rightarrow 3^+} \frac {\sqrt {(x - 3 )( x + 3)}} {x - 3 }

= \lim _ { x \rightarrow 3^+} \sqrt { \frac{(x - 3 )( x + 3)} { {( x - 3)}^2 } }

= \lim _ { x \rightarrow 3^+} \sqrt { \frac{x + 3} { x - 3} }

נציב שוב ונקבל:

= \lim _ { x \rightarrow 3^+} \sqrt { \frac{3 + 3} { 3 - 3} } = \frac {6}{0} = \infty

הסבר: ביטוי שהוא מנה של מונה סופי ומכנה ששואף לאפס מוגדר מתמטית ושווה לאינסוף. שימו לב שהאפס במכנה אינו אפס מוחלט אלא שואף לאפס. 

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה