תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 x ) }^\frac {1}{x}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x = 0
שימו לב שאנו מציבים אפס, אבל בעצם מציבים לא אפס מוחלט אלא מספר ששואף לאפס.
ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 \cdot 0 ) }^\frac {1}{0} = 1^\infty
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
הסבר: כאשר הפונקציה שלנו היא בעצם פונקציה בחזקת פונקציה ומקבלים בהצבה ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף” – זה בדרך כלל רמז להשתמש בגבול אוילר.
נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:
\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 x ) }^\frac {1}{x} =
= \lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 + (- 3 x )) }^{\frac {1}{- 3 x} ( - 3 )} =
קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:
1 + ( - 3 x)
ומתקיים:
\lim _ { x \rightarrow 0} - 3 x = 0
כאשר
x \rightarrow 0
ובחזקה מופיע ההופכי שלו. לכן, לפי אוילר, מתקיים:
\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 + (- 3 x )) }^{\frac {1}{- 3 x} } = e
נוסיף את החזקה, ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 + (- 3 x )) }^{\frac {1}{- 3 x} ( - 3 )} =e ^ {- 3}
פתרון מפורט בוידאו
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
