fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – פולינום בתוך שורש x – תרגיל 371

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 x ) }^\frac {1}{x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 x ) }^\frac {1}{x} = e^{-3}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

שימו לב שאנו מציבים אפס, אבל בעצם מציבים לא אפס מוחלט אלא מספר ששואף לאפס.

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 \cdot 0 ) }^\frac {1}{0} = 1^\infty

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

הסבר: כאשר הפונקציה שלנו היא בעצם פונקציה בחזקת פונקציה ומקבלים בהצבה ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף” – זה בדרך כלל רמז להשתמש בגבול אוילר.

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 - 3 x ) }^\frac {1}{x} =

= \lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 + (- 3 x )) }^{\frac {1}{- 3 x} ( - 3 )} =

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1 + ( - 3 x)

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0} - 3 x = 0

כאשר

x \rightarrow 0

ובחזקה מופיע ההופכי שלו. לכן, לפי אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 + (- 3 x )) }^{\frac {1}{- 3 x} } = e

נוסיף את החזקה, ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0} { ( 1 + (- 3 x )) }^{\frac {1}{- 3 x} ( - 3 )} =e ^ {- 3}

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה