fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לאיבר כללי עם ln – תרגיל 2683

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n\ln^2 n}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{1}{n\ln^2 n}

נבדוק את התנאים של מבחן האינטגרל. ראשית, נראה שהסדרה מונוטונית יורדת (לא עולה):

a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}

מכיוון ש-n מספר טבעי (שלם וחיובי), אז מקבלים שעבור (שימו לב שהתחום של הטור מתחיל מ-4)

n\geq 4

מתקיים:

n\ln^2 n<(n+1)ln^2(n+1)

מכיוון ששתי הפונקציות: n ו-ln הן פונקציות מונוטוניות עולות.

ולכן,

\frac{1}{n\ln^2 n}>\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}

כלומר, לכל n בתחום מתקיים:

a_n>a_{n+1}

וזה אומר שהסדרה מונוטונת יורדת.

שנית, רואים שלכל n בתחום האיבר הכללי חיובי. שני התנאים מתקיימים, ולכן אפשר להשתמש במבחן האינטגרל. לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=a_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x\ln^2 x}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_{4}^{\infty}\frac{1}{x\ln^2 x}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{4}^{t}\frac{1}{x\ln^2 x}dx=

אנו רואים באינטגרל פונקציה (ln) יחד עם הנגזרת שלה (1 חלקֵי x). זה מצב קלאסי לשיטת ההצבה. נגדיר משתנה חדש. המשתנה יהיה הפונקציה:

u=\ln x

ונקבל:

du=\frac{1}{x}dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל. לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה בהתאם 🙂 ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{\ln 4}^{t}\frac{1}{u^2}du=

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{\ln 4}^{t}u^{-2}du=

כעת, אפשר להשתמש בנוסחת אינטגרל מיידי ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[-u^{-1}]_{\ln 4}^{t}=

=\lim_{t\rightarrow \infty}[-\frac{1}{u}]_{\ln 4}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(-\frac{1}{t}-(-\frac{1}{\ln 4}))=

נציב את הגבול ונקבל:

=-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\ln 4}=

=0+\frac{1}{\ln 4}<\infty

קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה