fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים – תרגיל 2688

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+5}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{1}{n\ln n}

נבדוק את התנאים של מבחן האינטגרל. ראשית, נראה שהסדרה מונוטונית יורדת (לא עולה). לשם כך, נגדיר את הפונקציה:

f(x)=\frac{x}{x^2+5}

נגזור את הפונקציה בעזרת נוסחאות גזירה (שימו לב שנעזרנו בכלל המנה מכללי הגזירה), כדי לבדוק את תחומי העלייה והירידה שלה:

f'(x)=\frac{x^2+5-x\cdot 2x}{{(x^2+5)}^2}=

=\frac{-x^2+5}{{(x^2+5)}^2}

המכנה תמיד חיובי, כי הוא בחזקה זוגית. לכן, הנגזרת שלילית כאשר המונה שלילי. לשם כך, נפתור את האי-שוויון הריבועי:

-x^2+5<0

הפרבולה בצורת קערה הפוכה (“בוכה”) והשורשים שלו הם:

x_1=\sqrt{5}, x_2=-\sqrt{5}

לכן, מקבלים שהמונה שלילי (ומכאן כל הנגזרת) בתחום:

x<-\sqrt{5} \text{ or } x>\sqrt{5}

כלומר, בתחום זה הפונקציה מונוטונית יורדת (לא עולה). התחום

x<-\sqrt{5}

אינו בתחום הטור (כי הטור מתחיל מאחד ומעלה), ולכן אינו מעניין אותנו. והתחום

x>\sqrt{5}

מתחיל במספרים טבעיים (שלמים חיוביים) מ-3. אנו מתעניינים רק במספרים טבעיים, כי התחום של הטור הוא מספרים טבעיים. לכן, אפשר להסיק שאיברי הטור הם סדרה מונוטונית יורדת מ-n=3 עד אינסוף. שימו לב שכך הורדנו את שני האיברים הראשונים של הטור, אבל מתכונות טורים אנו יודעים שזה אינו משפיע על התכנסות או התבדרות הטור.

שנית, רואים שהאיבר הכללי חיובי לכל n בתחום.

שני התנאים מתקיימים, ולכן אפשר להשתמש במבחן האינטגרל. לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=a_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{x}{x^2+5}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו התחום שבו הפונקציה יורדת. נקבל:

\int_{3}^{\infty}\frac{x}{x^2+5}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{3}^{t}\frac{x}{x^2+5}dx=

אנו רואים באינטגרל פונקציה ריבועית יחד עם הנגזרת שלה. זה מצב קלאסי לשיטת ההצבה. נגדיר משתנה חדש. המשתנה יהיה הפונקציה:

u=x^2+5

ונקבל:

du=2xdx

נבודד את הביטוי שמופיע באינטגרל:

\frac{1}{2}du=xdx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל. לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה בהתאם 🙂 ונקבל:

=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{14}^{t}\frac{1}{u}du=

כעת, אפשר להשתמש בנוסחת אינטגרל מיידי ונקבל:

=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow \infty}[\ln u]_{14}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow \infty}(\ln t-\ln14)=

נציב את הגבול ונקבל:

=\frac{1}{2}(\ln \infty -\ln14)=

=\frac{1}{2}(\infty -\ln14)=\infty

קיבלנו תוצאה אינסופית, ולכן האינטגרל מתבדר. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה