fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לאיבר כללי עם arctan – תרגיל 2692

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{1+n^2}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{\arctan n}{1+n^2}

נבדוק את התנאים של מבחן האינטגרל. ראשית, נראה שהסדרה מונוטונית יורדת (לא עולה). לשם כך, נגדיר את הפונקציה:

f(x)=\frac{\arctan x}{1+x^2}

נגזור את הפונקציה בעזרת נוסחאות גזירה (שימו לב שנעזרנו בכלל המנה מכללי הגזירה), כדי לבדוק את תחומי העלייה והירידה שלה:

f'(x)=\frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot (1+x^2)-2x\cdot \arctan x}{{(1+x^2)}^2}=

=\frac{1-2x\arctan x}{{(1+x^2)}^2}

המכנה תמיד חיובי, כי הוא בחזקה זוגית. לכן, הנגזרת שלילית כאשר המונה שלילי. לשם כך, נפתור את האי-שוויון:

1-2x\arctan x<0

הפונקציות: 2x ו-arctan הן פונקציות עולות, ולכן המכפלה שלהן היא פונקציה עולה. מכאן, הפונקציה באי-שוויון היא פונקציה יורדת (כפל ב-(1-) הופך את הפונקציה). מכיוון שהפונקציה יורדת, הערך המקסימלי מתקבל בנקודה הכי קטנה בתחום, בתרגיל שלנו זו הנקודה x=1. נבדוק את ערך הפונקציה בנקודה זו.

1-2\cdot 1\cdot \arctan 1=1-2\cdot \frac{\pi}{4}=1-\frac{\pi}{2}<0

אם הנגזרת שלילית בנקודה המקסימלית שלה, אז היא שלילית גם בכל הנקודות האחרות. כלומר, קיבלנו שמתקיים:

f'(x)<0

לכל

x\geq 1

מכאן, הפונקציה המקורית יורדת לכל x בתחום זה. לכן, אפשר להסיק שאיברי הטור הם סדרה מונוטונית יורדת לכל n בתחום, כלומר

n\geq 1

שנית, רואים שהאיבר הכללי חיובי לכל n בתחום (כי הוא מנה של שתי פונקציות חיוביות בתחום שלנו).

שני התנאים מתקיימים, ולכן אפשר להשתמש במבחן האינטגרל. לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=a_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{\arctan x}{1+x^2}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו התחום של הטור. נקבל:

\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan x}{1+x^2}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{1}^{t}\frac{\arctan x}{1+x^2}dx=

אנו רואים באינטגרל פונקציה (arctan) יחד עם הנגזרת שלה. זה מצב קלאסי לשיטת ההצבה. נגדיר משתנה חדש. המשתנה יהיה הפונקציה:

u=\arctan x

ונקבל:

du=\frac{1}{1+x^2}dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל. לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה בהתאם 🙂 ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan t}udu=

כעת, אפשר להשתמש בנוסחת אינטגרל מיידי ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{u^2}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\frac{\arctan^2 t}{2}-\frac{{(\frac{\pi}{4})}^2}{2})=

נציב את הגבול ונקבל:

=\frac{\arctan^2 (\infty)}{2}-\frac{{(\frac{\pi}{4})}^2}{2}=

=\frac{{(\frac{\pi}{2})}^2}{2}-\frac{{(\frac{\pi}{4})}^2}{2}<\infty

קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה