fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה – תרגיל 2735

תרגיל 

האם הטור:

1+\frac{1}{\sqrt{1\cdot 3}}+\frac{1}{\sqrt{3\cdot 5}}+\frac{1}{\sqrt{5\cdot 7}}+...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים מופיע המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש מכפלה של מספרים אי-זוגיים עוקבים המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף מספרים אי-זוגיים היא 2n-1 עבור רצף המתחיל מ-1, ו-2n+1 עבור רצף המתחיל מ-3. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, צריך להמשיך ולנסות מבחן התכנסות אחר. שימו לב שזה אינו אומר שהטור מתכנס.

כאשר יש מנה של פונקציות בצורת פולינומים (אפילו עם חזקות ממשיות ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, יש חזקה ריבועית בתוך שורש, לכן נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}}{\frac{1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{n(2-\frac{1}{n})\cdot n(2+\frac{1}{n})}}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{\sqrt{n(2-\frac{1}{n})\cdot n(2+\frac{1}{n})}}{\sqrt{n^2}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{n(2-\frac{1}{n})\cdot n(2+\frac{1}{n})}}{\sqrt{n^2}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{(2-\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{\sqrt{(2-0)(2+0)}}=

=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}

מכיוון שמתקיים:

0<\frac{1}{2}<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו 

b_n=\frac{1}{n}

הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה