fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים – תרגיל 2731

תרגיל 

האם הטור:

1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון מפורט

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים מופיע המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף כזה היא 2n-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{2n-1}

והטור שלנו הוא

\sum_1^{\infty} a_n=\sum_1^{\infty} \frac{1}{2n-1}

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2n-1}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, צריך להמשיך ולנסות מבחן התכנסות אחר. שימו לב שזה אינו אומר שהטור מתכנס.

כאשר יש מנה של פולינומים (אפילו עם חזקות ממשיות ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2n-1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n-1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}

מכיוון שמתקיים:

0<\frac{1}{2}<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו 

b_n=\frac{1}{n}

הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו

\sum_1^{\infty}a_n

מתבדר.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לדפי תרגילים פתורים בחדו"א?