תרגיל
האם הטור:
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...
מתכנס?
תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים מופיע המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף כזה היא 2n-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא
a_n=\frac{1}{2n-1}
והטור שלנו הוא
\sum_1^{\infty} a_n=\sum_1^{\infty} \frac{1}{2n-1}
נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:
\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2n-1}=0
מכיוון שהגבול שווה לאפס, צריך להמשיך ולנסות מבחן התכנסות אחר. שימו לב שזה אינו אומר שהטור מתכנס.
כאשר יש מנה של פולינומים (אפילו עם חזקות ממשיות ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.
לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, נגדיר את הטור:
b_n=\frac{1}{n}
ונחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=
נציב את הטורים:
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{n}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2n-1}=
נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n-1}{n}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=
נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}
מכיוון שמתקיים:
0<\frac{1}{2}<\infty
ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו
b_n=\frac{1}{n}
הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו
\sum_1^{\infty}a_n
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
