טור הרמוני
טור מהצורה
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
נקרא טור הרמוני.
נוכיח שטור זה מתבדר בעזרת קריטריון קושי להתכנסות טורים. לכן, קודם כל נגדיר את הקריטריון.
קריטריון קושי להתכנסות טורים
הטור
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
מתכנס אם ורק אם מתקיים
\forall\varepsilon >0\exists N(\varepsilon) \forall n, n>N(\varepsilon) \forall p
|a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}|=|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k|<\varepsilon
נחזור להוכיח שטור הרמוני מתבדר. נשתמש בקריטריון קושי לעיל. נמצא p שלא מקיים את האי-שוויון. לשם כך, נגדיר p=n ונקבל:
\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=
=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}
נשים לב שאם נחליף כל איבר באיבר הקטן ביותר בסכום, נקבל תוצאה קטנה יותר, כלומר
>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=
=n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}>\varepsilon
לכן, לפי קריטריון קושי, הטור מתבדר.
מעתה, זכרו שהטור
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
הוא טור מתבדר.
יתר על כן, הטור
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
מתכנס רק עבור p>1. אפשר להוכיח זאת בעזרת מבחני התכנסות שונים.
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות עם טור הרמוני
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
