fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טור הרמוני

טור הרמוני

טור מהצורה

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

נקרא טור הרמוני. 

נוכיח שטור זה מתבדר בעזרת קריטריון קושי להתכנסות טורים. לכן, קודם כל נגדיר את הקריטריון. 

קריטריון קושי להתכנסות טורים

הטור

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

מתכנס אם ורק אם מתקיים

\forall\varepsilon >0\exists N(\varepsilon) \forall n, n>N(\varepsilon) \forall p

|a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}|=|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k|<\varepsilon

נחזור להוכיח שטור הרמוני מתבדר. נשתמש בקריטריון קושי לעיל. נמצא p שלא מקיים את האי-שוויון. לשם כך, נגדיר p=n ונקבל:

\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=

=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}

נשים לב שאם נחליף כל איבר באיבר הקטן ביותר בסכום, נקבל תוצאה קטנה יותר, כלומר

>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=

=n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}>\varepsilon

לכן, לפי קריטריון קושי, הטור מתבדר.

מעתה, זכרו שהטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

הוא טור מתבדר.

יתר על כן, הטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}

מתכנס רק עבור p>1. אפשר להוכיח זאת בעזרת מבחני התכנסות שונים.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות עם טור הרמוני

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה