fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

טור הרמוני

טור הרמוני

טור מהצורה

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

נקרא טור הרמוני. 

נוכיח שטור זה מתבדר בעזרת קריטריון קושי להתכנסות טורים. לכן, קודם כל נגדיר את הקריטריון. 

קריטריון קושי להתכנסות טורים

הטור

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

מתכנס אם ורק אם מתקיים

\forall\varepsilon >0\exists N(\varepsilon) \forall n, n>N(\varepsilon) \forall p

|a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}|=|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k|<\varepsilon

נחזור להוכיח שטור הרמוני מתבדר. נשתמש בקריטריון קושי לעיל. נמצא p שלא מקיים את האי-שוויון. לשם כך, נגדיר p=n ונקבל:

\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=

=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}

נשים לב שאם נחליף כל איבר באיבר הקטן ביותר בסכום, נקבל תוצאה קטנה יותר, כלומר

>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=

=n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}>\varepsilon

לכן, לפי קריטריון קושי, הטור מתבדר.

מעתה, זכרו שהטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

הוא טור מתבדר.

יתר על כן, הטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}

מתכנס רק עבור p>1. אפשר להוכיח זאת בעזרת מבחני התכנסות שונים.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות עם טור הרמוני


 
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?