מבחני התכנסות לטורים

תוכן עניינים:

• תנאי הכרחי להתכנסות טור
• מבחן השוואה ראשון
• מבחן השוואה שני
• מבחן דלמבר
• מבחן קושי
• מבחן האינטגרל
• מבחן ראבה
• מבחן לייבניץ

תנאי הכרחי להתכנסות טור

אם הטור

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

מתכנס, אז מתקיים

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0

מכאן, אם מתקיים

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n\neq 0

אז הטור מתבדר.

טיפ: כדאי לבדוק קודם את הגבול על האיבר הכללי של הטור. אם הוא אינו שואף לאפס, תוכלו להסיק שהטור מתבדר. אבל שימו לב, אם הגבול מתכנס לאפס, אי-אפשר להסיק שהטור מתכנס! ייתכן שהוא מתכנס וייתכן שלא. צריך להמשיך ולבדוק בעזרת מבחני התכנסות אחרים.

טיפ: כאשר האיבר הכללי הוא מנה של פולינומים מאותה מעלה, תנאי זה תעזור לכם להוכיח את התבדרות הטור.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בתנאי ההכרחי להתכנסות

מבחני השוואה לטורים חיוביים

טור חיובי = כל איברי הטור חיוביים, חוץ ממספר סופי של איברים.

מבחן השוואה ראשון

נתונים הטורים החיוביים

\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n

אם לכל n, החל ממקום מסוים (או מהמקום הראשון) מתקיים

a_n\leq b_n

אז מתקיים:

1. אם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} b_n

מתכנס, אז גם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

מתכנס.

2. אם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

מתבדר, אז גם הטור 

\sum_{n=1}^{\infty} b_n

מתבדר.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במבחן ההשוואה הראשון

מבחן השוואה שני

נתונים הטורים החיוביים

\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n

ונתון שמתקיים:

\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=k

אז מתקיים:

1. אם 

0<k<\infty

אז שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד.

2. אם k=0, אז אם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} b_n

מתכנס, אז גם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

מתכנס.

טיפ: מבחן ההשוואה השני עוזר במיוחד כשהאיבר הכללי של הטור הוא מנה של ביטויים בעלי חזקה קבועה (מספר כלשהו – שלם או לא). במקרה כזה, נקבע את הטור השני להיות ביטוי בעל חזקה הזהה לחזקה המובילה בטור הראשון, ללא מקדמים כלשהם.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במבחן ההשוואה השני

3. אם 

k=\infty

אז אם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

מתכנס, אז גם הטור

\sum_{n=1}^{\infty} b_n

מתכנס.

מבחן דלמבר

נתון הטור החיובי

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

ונתון שמתקיים

\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=L

אז מתקיים:

1. אם L<1, אז הטור מתכנס.

2. אם L>1, אז הטור מתבדר.

3. אם L=1, אז לא ניתן לדעת על פי מבחן זה וצריך לנסות מבחן אחר.

טיפ: מבחן דלמבר עוזר במיוחד כאשר האיבר הכללי של הטור הוא מעריכי (חזקת n) או מכיל עצרת (הסימן !).

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במבחן דלמבר

מבחן קושי

נתון הטור החיובי

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

ונתון שמתקיים

\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n}=L

אז מתקיים:

1. אם L<1, אז הטור מתכנס.

2. אם L>1, אז הטור מתבדר.

3. אם L=1, אז לא ניתן לדעת על פי מבחן זה וצריך לנסות מבחן אחר.

טיפ: מבחן קושי עוזר במיוחד כאשר האיבר הכללי כולו נמצא בתוך חזקה n-ית.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במבחן קושי

מבחן האינטגרל

נתון הטור החיובי

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

ונתון שמתקיים

a_n=f(n)

פונקציה חיובית לא עולה עבור

n\geq 1

אז הטור והאינטגרל

\int_1^{\infty} f(x)dx

מתכנסים או מתבדרים יחד.

טיפ: מבחן האינטגרל עוזר במיוחד כאשר האיבר הכללי הוא אינטגרל קל לחישוב.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במבחן האינטגרל

מבחן ראבה

נתון הטור החיובי

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

ונתון שמתקיים

\lim_{n\rightarrow\infty} n\cdot (1-\frac{a_{n+1}}{a_n})=q

אז מתקיים:

1. אם q<1, אז הטור מתבדר.

2. אם q>1, אז הטור מתכנס.

3. אם q=1, אז לא ניתן לדעת על פי מבחן זה וצריך לנסות מבחן אחר.

מבחן לייבניץ לטור מחליף סימן

טור מחליף סימן = טור שאיבריו הזוגיים חיוביים ואיבריו האי-זוגיים שליליים, או להפך.

נתון שטור מחליף סימן, כלומר מהצורה

\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{n+1} a_n

אז אם הסדרה

{\{a_n\}}_{n=1}^{\infty}

היא סדרה מונוטונית יורדת וגם מתקיים

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0

אז הטור 

\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{n+1} a_n

מתכנס.

שימו לב שהתנאי השני:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0

הוא תנאי הכרחי. זאת אומרת, אם הוא לא מתקיים, אפשר להסיק מיד שהטור מתבדר. לכן, כדאי להתחיל את החישוב בבדיקת התנאי הזה. 

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במבחן לייבניץ

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂