fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם ביטוי מעריכי – תרגיל 2757

תרגיל 

האם הטור:

\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל מהמספר 1, ובמכנה של כל השברים יש חזקות עוקבות של 2, גם כן מתחיל מ-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{n}{2^n}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{2n}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{2n}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה