fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לביטוי מעריכי עם עצרת – תרגיל 2759

תרגיל 

האם הטור:

\frac{1!}{10}+\frac{2!}{10^2}+\frac{3!}{10^3}+\frac{4!}{10^4}+...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל מהמספר 1, ובמכנה של כל השברים יש חזקות עוקבות של המספר 10, גם כן מתחיל מ-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{n!}{10^n}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית ועצרת, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}}{\frac{n!}{10^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{10}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{\infty}{10}=\infty

מכיוון שקיבלנו תוצאה אינסופית, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור  מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה