fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לביטוי מעריכי עם עצרת – תרגיל 2766

תרגיל 

האם הטור:

\frac{(1!)^2}{2!}+\frac{(2!)^2}{4!}+\frac{(3!)^2}{6!}...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל מהמספר 1, ובמכנה יש רצף מספרים זוגיים, המתחיל מ-2. הנוסחה לרצף מספרים זוגיים מהמספר 2 היא 2n. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}

כאשר יש ביטוי המכיל עצרת, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^2}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^2}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n!n!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^2}{(2n+1)(2n+2)}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר – חזקה ריבועית:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{{(n+1)}^2}{n^2}}{\frac{(2n+1)(2n+2)}{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(\frac{n+1}{n})}^2}{\frac{n(2+\frac{1}{n})n(2+\frac{2}{n})}{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(1+\frac{1}{n})}^2}{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{{(1+0)}^2}{(2+0)(2+0)}=\frac{1}{4}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה