fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לביטוי בחזקת n – תרגיל 2769

תרגיל 

האם הטור:

\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^3 4}...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים מופיע המספר 1, ובמכנה יש שני רצפים של מספרים עוקבים. האחד, בתוך ה-ln ומתחיל מ-2. השני, בחזקה ומתחיל מ-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{\ln^n (n+1)}={(\frac{1}{\ln(n+1)})}^n

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{\ln(n+1)})}^n

כאשר כל האיבר הכללי בתוך חזקת n, זה רמז להשתמש במבחן קושי.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{{(\frac{1}{\ln(n+1)})}^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln(n+1)}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{\ln(\infty)}=0<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן קושי שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה