fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לביטוי בחזקת n – תרגיל 2774

תרגיל 

האם הטור:

\frac{1}{3}+{(\frac{2}{5})}^2+{(\frac{3}{7})}^3...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל במספר 1. במכנה יש רצף מספרים אי-זוגיים עוקבים, המתחיל במספר 3. הנוסחה לרצף כזה היא 2n+1. ובחזקה יש רצף מספרים עוקבים, המתחיל מ-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n={(\frac{n}{2n+1})}^n

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{n}{2n+1})}^n

כאשר כל האיבר הכללי בתוך חזקת n, זה רמז להשתמש במבחן קושי.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{{(\frac{n}{2n+1})}^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2n+1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n+1}{n}}=

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

= \frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן קושי שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה