fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות לביטוי בחזקת n בריבוע – תרגיל 2780

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{2^n} {(\frac{n+1}{n})}^{n^2}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{2}{2^n} {(\frac{n+1}{n})}^{n^2}

כאשר יש באיבר הכללי חזקה n-ית, כדאי לנסות את מבחן קושי.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{2}{2^n} {(\frac{n+1}{n})}^{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^{n-1}} {(\frac{n+1}{n})}^{n^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{1}{2^{n-1}})}^{\frac{1}{n}} {({(\frac{n+1}{n})}^{n^2})}^{\frac{1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{n}}} {(\frac{n+1}{n})}^n=

נפצל את הגבול למכפלה של גבולות:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{n}}}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n})}^n

נפתור את הגבול הראשון:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{n}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{1}{2})}^{\frac{n-1}{n}}=

נכניס את הגבול לחזקה:

={(\frac{1}{2})}^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n-1}{n}}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

={(\frac{1}{2})}^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n}{n}}}=

={(\frac{1}{2})}^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{1}}=

נציב אינסוף ונקבל:

={(\frac{1}{2})}^{\frac{1-0}{1}}=

={(\frac{1}{2})}^1=\frac{1}{2}

נפתור את הגבול השני במכפלה:

\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n})}^n=

\lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n})}^n=e

התוצאה היא e, כי זה גבול אוילר.

לכן, תוצאת הגבול היא

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{n}}}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n})}^n=

=\frac{1}{2}\cdot e>1

מכיוון שקיבלנו תוצאה גדולה מאחד, אפשר להסיק ממבחן קושי שהטור מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה