fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם שורש – תרגיל 2788

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n+1}}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n+1}}

שימו לב שהטור מתחיל מ-2.

כאשר יש מנה של פונקציות מצורת פולינום, אבל עם חזקות מקבוצת המספרים הממשיים ולא רק שלמים, זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

נגדיר טור בעל חזקה מובילה זהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n^{(\frac{4}{3})}}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n+1}}}{\frac{1}{n^{(\frac{4}{3})}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^{(\frac{4}{3})}}{(n+1)\sqrt[3]{n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^{(\frac{4}{3})}}{n(1+\frac{1}{n})\sqrt[3]{n(1+\frac{1}{n})}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})\sqrt[3]{(1+\frac{1}{n})}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{(1+0)\sqrt[3]{(1+0)}}=1

מכיוון שמתקיים:

0<1<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. נראה שהטור שהגדרנו

b_n=\frac{1}{n^{(\frac{4}{3})}}

מתכנס. ראשית, איבריו חיוביים לכל n. שנית, לכל n מתקיים:

n^{(\frac{4}{3})}<{(n+1)}^{(\frac{4}{3})}

מכאן, מתקיים:

\frac{1}{n^{(\frac{4}{3})}}>\frac{1}{{(n+1)}^{(\frac{4}{3})}}

כלומר, קיבלנו שמתקיים:

b_n>b_{n+1}

זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.

לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=b_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x^{(\frac{4}{3})}}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_2^{\infty} \frac{1}{x^{(\frac{4}{3})}}dx

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_2^{t} \frac{1}{x^{(\frac{4}{3})}}dx=

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_2^{t} x^{-(\frac{4}{3})}dx=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{x^{(-\frac{1}{3})}}{-\frac{1}{3}}]_{2}^{t}=

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{-3}{\sqrt[3]{x}}]_{2}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\frac{-3}{\sqrt[3]{t}}-\frac{-3}{\sqrt[3]{2}})=

נציב אינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}(0-(-3\sqrt[3]{2}))=3\sqrt[3]{2}<\infty

קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס. וממבחן ההשוואה השני נובע שגם הטור המקורי מתכנס.

טיפ: בעזרת מבחן האינטגרל כמו לעיל, אפשר להוכיח התכנסות של כל טור מהצורה

c_n=\frac{1}{n^p}

כאשר p מקיים

p>1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?