fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים – תרגיל 2802

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^3}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{n^2+1}{n^3}

כאשר יש מנה של פולינומים (אפילו עם חזקות ממשיות ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2+1}{n^3}}{\frac{1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n(n^2+1)}{n^3}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2+1}{n^2}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 1+\frac{1}{n^2}=

נציב אינסוף ונקבל:

=1+0=1

מכיוון שמתקיים:

0<1<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו 

b_n=\frac{1}{n}

הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו

\sum_3^{\infty}a_n

מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה