fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם ln ושורש – תרגיל 2799

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=10}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}

שימו לב שהטור מתחיל מ-10, ולא מ-1.

נבדוק את התנאים של מבחן האינטגרל. ראשית, נראה שהסדרה מונוטונית יורדת (לא עולה):

a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\sqrt{\ln (n+1)}}

מכיוון ש-n מספר טבעי (שלם וחיובי), אז מקבלים שעבור

n\geq 10

מתקיים:

n\sqrt{\ln n}<(n+1)\sqrt{\ln(n+1)}

מכיוון ששתי הפונקציות במכפלה הן פונקציות מונוטוניות עולות.

ולכן,

\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}>\frac{1}{(n+1)\sqrt{\ln(n+1)}}

כלומר, לכל n בתחום מתקיים:

a_n>a_{n+1}

וזה אומר שהסדרה מונוטונת יורדת.

שנית, רואים שהאיבר הכללי חיובי לכל n בתחום. שני התנאים מתקיימים, ולכן אפשר להשתמש במבחן האינטגרל. לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=a_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x\sqrt{\ln x}}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_{10}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{\ln x}}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{10}^{t}\frac{1}{x\sqrt{\ln x}}dx=

אנו רואים באינטגרל פונקציה (ln) יחד עם הנגזרת שלה (1 חלקֵי x). זה מצב קלאסי לשיטת ההצבה. נגדיר משתנה חדש. המשתנה יהיה הפונקציה:

u=\ln x

ונקבל:

du=\frac{1}{x}dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל. לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה בהתאם 🙂 ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{\ln 10}^{t}\frac{1}{\sqrt{u}}du=

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{\ln 10}^{t}u^{-\frac{1}{2}}du=

כעת, אפשר להשתמש בנוסחת אינטגרל מיידי ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]_{\ln 10}^{t}=

=\lim_{t\rightarrow \infty}[2\sqrt{u}]_{\ln 10}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(2\sqrt{t}-2\sqrt{\ln 10})=

נציב את הגבול ונקבל:

=2\sqrt{\infty}-2\sqrt{\ln 10}=

=\infty -2\sqrt{\ln 10}=\infty

קיבלנו תוצאה אינסופית, ולכן האינטגרל מתבדר. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה