fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם חזקה n-ית – תרגיל 2809

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=7}^{\infty} \frac{2n-1}{3^n}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{2n-1}{3^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2(n+1)-1}{3^{(n+1)}}}{\frac{2n-1}{3^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n+2-1}{3^{(n+1)}}\cdot\frac{3^n}{2n-1}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n+1}{3(2n-1)}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n+1}{6n-3}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2n+1}{n}}{\frac{6n-3}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{6-\frac{3}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{2+0}{6-0}=\frac{2}{6}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה