fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם חזקה n-ית – תרגיל 2813

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^4}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{2^n}{n^4}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{(n+1)}}{{(n+1)}^4}}{\frac{2^n}{n^4}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^{(n+1)}}{{(n+1)}^4}\cdot\frac{n^4}{2^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 2{(\frac{n}{n+1})}^4=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} 2{(\frac{\frac{n}{n}}{\frac{n+1}{n}})}^4=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 2{(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})}^4=

נציב אינסוף ונקבל:

=2{(\frac{1}{1+0})}^4=2\cdot 1=2>1

מכיוון שקיבלנו תוצאה גדולה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה