fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם חזקה n-ית – תרגיל 2818

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n\cdot 2^n}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{3^n}{n\cdot 2^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{3^{(n+1)}}{(n+1)\cdot 2^{(n+1)}}}{\frac{3^n}{n\cdot 2^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3^{(n+1)}}{(n+1)\cdot 2^{(n+1)}}\cdot\frac{n\cdot 2^n}{3^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3}{2}\cdot\frac{n}{n+1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3}{2}\cdot\frac{\frac{n}{n}}{\frac{n+1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1+0}=\frac{3}{2}>1

מכיוון שקיבלנו תוצאה גדולה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה