fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם חזקה n-ית ועצרת – תרגיל 2821

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=5}^{\infty} \frac{n!}{n^n}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n=\frac{n!}{n^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית ועצרת, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{{(n+1)}^{(n+1)}}}{\frac{n!}{n^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{{(n+1)}^{(n+1)}}\cdot\frac{n^n}{n!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)n^n}{{(n+1)}^{(n+1)}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)n^n}{{(n+1)}^n\cdot(n+1)}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^n}{{(n+1)}^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{n}{n+1})}^n=

נסדר את הביטוי שיתאים לגבול אוילר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{n+1-1}{n+1})}^n=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(1+\frac{-1}{n+1})}^n=

הערה: שימו לב שהצבה אכן נותנת לכם את מקרה האי-ודאות “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. רק במקרה זה אפשר להשתמש בגבול אוילר הידוע.

נסדר את החזקה:

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(1+\frac{-1}{n+1})}^{-(n+1)\cdot\frac{-n}{n+1}}=

גבול אוילר נותן לנו את התוצאה:

\lim_{n\rightarrow \infty} {(1+\frac{-1}{n+1})}^{-(n+1)}=e

כלומר, קיבלנו:

=e^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{-n}{n+1}}

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

e^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{-n}{n}}{\frac{n+1}{n}}}

=e^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{-1}{1+\frac{1}{n}}}

נציב אינסוף ונקבל:

=e^{\frac{-1}{1+0}}=e^{-1}=\frac{1}{e}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה