fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים מאותה מעלה בחזקת n – תרגיל 2826

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{4n^2-3}{3n^2+1})}^n

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון מפורט

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n= {(\frac{4n^2-3}{3n^2+1})}^n

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{4n^2-3}{3n^2+1})}^n=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{\frac{4n^2-3}{n^2}}{\frac{3n^2+1}{n^2}})}^n=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{4-\frac{3}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}})}^n=

נציב אינסוף ונקבל:

={(\frac{4-0}{3+0})}^{\infty}={(\frac{4}{3})}^{\infty}=\infty\neq 0

הערה: תוצאת הגבול היא אינסופית, משום שהבסיס גדול מ-1.

מכיוון שהגבול אינו שווה לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות מקבלים שהטור מתבדר.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לדפי תרגילים פתורים בחדו"א?