תרגיל
האם הטור:
\sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{4n^2-3}{3n^2+1})}^n
מתכנס?
תשובה סופית
פתרון מפורט
האיבר הכללי של הטור הוא
a_n= {(\frac{4n^2-3}{3n^2+1})}^n
נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:
\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=
=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{4n^2-3}{3n^2+1})}^n=
נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר ונקבל:
=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{\frac{4n^2-3}{n^2}}{\frac{3n^2+1}{n^2}})}^n=
=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{4-\frac{3}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}})}^n=
נציב אינסוף ונקבל:
={(\frac{4-0}{3+0})}^{\infty}={(\frac{4}{3})}^{\infty}=\infty\neq 0
הערה: תוצאת הגבול היא אינסופית, משום שהבסיס גדול מ-1.
מכיוון שהגבול אינו שווה לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות מקבלים שהטור מתבדר.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
