fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה עם עצרת – תרגיל 2828

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתכנס

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n= \frac{n^2}{n!}

כאשר יש ביטוי המכיל עצרת, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר.

לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ \frac{{(n+1)}^2}{(n+1)!}}{\frac{n^2}{n!}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^2}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{n+1}{n})}^2\cdot\frac{1}{n+1}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{n})}^2\cdot\frac{1}{n+1}=

נציב אינסוף ונקבל:

={(1+0)}^2\cdot0=1\cdot 0=0<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה