fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם sin – תרגיל 2849

תרגיל 

בדקו אם הטור:

\frac{\sin(\alpha)}{1}-\frac{\sin (2\alpha)}{4}+\frac{\sin (3\alpha)}{9}-\frac{\sin (4\alpha)}{16}+...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתכנס בהחלט

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל מהמספר 1, ובמכנה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים בריבוע המתחיל מ-1. בנוסף, הטור מחליף סימן: חיובי, שלילי, חיובי, שלילי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n}\sin (n\alpha)}{n^2}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}\sin (n\alpha)}{n^2}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n}\sin (n\alpha)}{n^2}|=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin (n\alpha)|}{n^2}

מכיוון שפונקציית sin חסומה, נשתמש במבחן ההשוואה הראשון. נתחיל מהעובדה שמתקיים:

|\sin (n\alpha)|\leq 1

נכפול את שני האגפים באיבר חיובי ונקבל:

|\frac{\sin (n\alpha)}{n^2}|\leq \frac{1}{n^2}

מכיוון שהטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

 

מתכנס (ההוכחה בעזרת מבחן האינטגרל בפתרון תרגיל 48), ממבחן ההשוואה הראשון נובע שגם הטור 

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\alpha)}{n^2}

מתכנס. מכאן, הטור 

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}\sin (n\alpha)}{n^2}

מתכנס בהחלט. ולכן, הוא גם מתכנס.

הערה: השתמשנו במשפט האומר, שטור מתכנס בהחלטמתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה