fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם חזקת n – תרגיל 2856

תרגיל 

בדקו אם הטור:

1\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2^4}...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתכנס בהחלט

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים מופיע המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש שני רצפים. האחד, רצף מספרים עוקבים המתחיל מ-1. השני, רצף מספרים עוקבים בחזקה של המספר 2, גם כן מתחיל מהמספר 1. בנוסף, הטור מחליף סימן: חיובי, שלילי, חיובי, שלילי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n\cdot 2^n}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{n\cdot 2^n}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}}{n\cdot 2^n}|=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 2^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)\cdot 2^{(n+1)}}}{\frac{1}{n\cdot 2^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n\cdot 2^n}{(n+1)\cdot 2^{(n+1)}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2(n+1)}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{2n+2}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n+2}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2+\frac{2}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 2^n}

מתכנס. מכאן, הטור המקורי

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{n\cdot 2^n}

מתכנס בהחלט. ולכן, הוא גם מתכנס.

הערה: השתמשנו במשפט האומר, שטור מתכנס בהחלטמתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה