fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם מנה של פולינומים מאותה מעלה – תרגיל 2860

תרגיל 

בדקו אם הטור:

\frac{2}{1}-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל במספר 2, ובמכנה של כל השברים יש רצף. האחד, רצף מספרים עוקבים המתחיל במספר 1. בנוסף, הטור מחליף סימן: חיובי, שלילי, חיובי, שלילי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{n}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{n}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{n}|=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

נציב את הטור ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}1+\frac{1}{n}=

נציב אינסוף ונקבל:

=1+0=1\neq 0

מכיוון שהגבול אינו שווה לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות מקבלים שהטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}

מתבדר. כלומר, הטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{n}

אינו מתכנס בהחלט

ננסה לבדוק אם הטור מתכנס בתנאי. מכיוון שהטור מחליף סימן, נשתמש במבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה

{\{\frac{n+1}{n}\}}_{n=1}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}=1\neq 0

הגבול אינו שואף לאפס, וזה תנאי הכרחי במבחן לייבניץ. מכיוון שהתנאי ההכרחי לא מתקיים, נסיק שהטור מתבדר.

הערה: שימו לב שכבר חישבנו את אותו הגבול, כשבדקנו אם הטור מתכנס בערך מוחלט. ולכן, יכולנו להסיק כבר שם שהטור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתבדר.

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה