fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם שורש – תרגיל 2863

תרגיל 

בדקו אם הטור:

-1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}-...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתכנס בתנאי

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים המתחיל מ-1. בנוסף, הטור מחליף סימן – שלילי, חיובי, שלילי, חיובי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{\sqrt{n}}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{\sqrt{n}}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}}{\sqrt{n}}|=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}

טור זה הוא מהצורה

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

עם

p=\frac{1}{2}<1

מכיוון שהחזקה קטנה מאחד, הטור מתבדר. אפשר להוכיח את זה בעזרת מבחן האינטגרל.

לכן, הטור שלנו אינו מתכנס בהחלט. נבדוק אם הוא מתכנס בתנאי בעזרת מבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{1}{\sqrt{n}}\}}_{n=1}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת. n טבעי (שלם חיובי), ולכן לכל n בתחום הטור מתקיים:

\sqrt{n}<\sqrt{n+1}

מכאן, גם מתקיים:

\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}

כלומר, קיבלנו שהסדרה מונוטונית יורדת.

שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור המקורי

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{\sqrt{n}}

מתכנס.

מכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, ההתכנסות ממבחן לייבניץ נותנת התכנסות בתנאי, לכן התשובה הסופית היא מתכנס בתנאי.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה