fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם מנה של פולינום וחזקת n – תרגיל 2867

תרגיל 

בדקו אם הטור:

\frac{1}{2}-\frac{8}{4}+\frac{27}{8}-\frac{64}{16}+...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתכנס בהחלט

פתרון

נשים לב שמתקיים:

\frac{1}{2}-\frac{8}{4}+\frac{27}{8}-\frac{64}{16}+...=

=\frac{1}{2}-\frac{2^3}{2^2}+\frac{3^3}{2^3}-\frac{4^3}{2^4}+...

כעת, יהיה קל למצוא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים בחזקה שלישית המתחיל ב-1, ובמכנה של כל השברים יש רצף מספרים עוקבים בחזקות המתחיל ב-1 גם כן. בנוסף, הטור מחליף סימן: חיובי, שלילי, חיובי, שלילי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}n^3}{2^n}

והטור שלנו מתחיל ב-n=1:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}n^3}{2^n}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}n^3}{2^n}|=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}

כאשר יש ביטוי המכיל חזקה n-ית, זה רמז להשתמש במבחן דלמבר. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

נציב את הטור ונקבל:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{{(n+1)}^3}{2^{(n+1)}}}{\frac{n^3}{2^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^3}{2^{(n+1)}}\cdot\frac{2^n}{n^3}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^3}{2n^3}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2}{(\frac{n+1}{n})}^3=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2}{(1+\frac{1}{n})}^3=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{2}{(1+0)}^3=\frac{1}{2}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, נובע ממבחן דלמבר שהטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}

מתכנס. מכאן, הטור המקורי

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}n^3}{2^n}

מתכנס בהחלט.

הערה: מהמשפט האומר, שטור מתכנס בהחלטמתכנס, נובע שהטור גם מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה